Parallel implementation of Davidson-type methods for large-scale eigenvalue problems

Abstract

El problema de valores propios (tambien llamado de autovalores, o eigenvalues) esta presente en diversas tareas cienficas a traves de la resolucion de ecuaciones diferenciales, analisis de modelos y calculos de funciones matriciales, entre otras muchas aplicaciones. Si los problemas son de dimension moderada (menor a 106), pueden ser abordados mediante los llamados metodos directos, como el algoritmo iterativo QR o el metodo de divide y vencerlas. Sin embargo, si el problema es de gran dimension y solo se requieren unas pocas soluciones (comparado con el tama~no del problema) y con un cierto grado de aproximacion, los metodos iterativos pueden resultar mas eficientes. Ademas los metodos iterativos pueden ofrecer mejores prestaciones en arquitecturas de altas prestaciones, como las de memoria distribuida, en las que existen un cierto numero de nodos computacionales con espacio de memoria propios y solo pueden compartir informacion y sincronizarse mediante el paso de mensajes. Esta tesis aborda la implementacion de metodos de tipo Davidson, destacando Generalized Davidson y Jacobi-Davidson, una clase de metodos iterativos que puede ser competitiva en casos especialmente dificiles como calcular valores propios en el interior del espectro o cuando la factorizacion de matrices es prohibitiva o ineficiente, y solo es posible una factorizacion aproximada. La implementacion se desarrolla en SLEPc (Scalable Library for Eigenvalue Problem Computations), libreria libre destacada en la resolucion de problemas de gran tama~no de valores propios, problemas cuadraticos de valores propios y problemas de valores singulares, entre otros. A su vez, SLEPc se desarrolla bajo el marco de PETSc (Portable, Extensible Toolkit for Scientic Computation), que ofrece implementaciones eficientes de operaciones basicas del algebra lineal, como operaciones con matrices y vectores, resolucion aproximada de sistemas lineales, factorizaciones exactas y aproximadas de matrices, etc.