Design of C2 flyable pythagorean hodograph space curves

Abstract

[EN] The design of trajectories is one of the oldest problems of control for vehicles. The usual approach is the use of waypoints that define lines joining them consecutively from the initial position to the final destination. Although this method can be well suited in many circumstances, such as planar ¿ or semi planar ¿ problems and scenarios where the vehicle can loosely smooth the lines into curves near the waypoints, there are other scenarios where this is not an acceptable solution. Some examples of this situation are the cases of complex trajectories where the amount of data transferred must be minimal and the vehicle is also required to meet some velocity / acceleration requirements, the curve length must be rapidly recalculated and scenarios where the piecewise curves generated need to be not only continuous but also n-times differentiable ¿as required in the case of the input of path following control system. This project implements different approach to solve the previous problem, in order to solve the C2 interpolation of 9th degree Pythagorean Hodograph (PH) space curves ensuring well behaved curves. The different approaches are explained and compared to show the advantages and disadvantages of each of them. Both an analytical approach and a numerical approach are followed. This result of this work should help to the implementation of curve generation software in autonomous vehicles systems such as UAV¿s flight planners, allowing them to build piecewise trajectories with a reasonable computational effort while keeping the advantageous properties of Pythagorean Hodograph curves.

[ES] El diseño de trayectorias es uno de los problemas más antiguos en el ámbito del control de vehículos. El enfoque típico de este problema consiste en utilizar puntos de control que a su vez definen líneas al unirlos de forma consecutiva uniendo la posición inicial y la final. A pesar de que este método resulta adecuado en muchas circunstancias, como en problemas planos ¿ o semiplanos ¿, o en escenarios donde el vehículo puede suavizar los vértices que forman las líneas al unirse en los puntos de control, existen otros escenarios en los que ésta no es una solución aceptable. Ejemplos de estas situaciones incluyen casos con trayectorias complejas donde la cantidad de datos transferidos debe ser mínima, donde el vehículo debe cumplir ciertos requerimientos de velocidad y aceleración, la longitud de la trayectoria debe ser calculada rápidamente y con precisión, así como escenarios en los que las curvas generadas a trozos deben ser no solo continuas, sino también n-veces derivables ¿ como es el caso de la entrada de algunos sistemas de control de seguimiento de trayectoria. Este trabajo implementa diferentes enfoques para la solución del problema anterior, la resolución de la interpolación de curvas pitagóricas-hodógrafas C2 continuas de noveno grado asegurando el buen comportamiento de la curva. El resultado de este trabajo debería ayudar a implementar el software de generación de curvas en sistemas de vehículos autónomos tales como planificadores de vuelo de RPAS, permitiéndoles construir trayectorias a trozos con un coste computacional razonable al mismo tiempo que mantienen las propiedades ventajosas de las curvas pitagóricas-hodógrafas.