Soluciones analíticas e integración numérica en sistemas de navegación por satélite

Abstract

[ES] Este trabajo tiene el objetivo principal proporcionar una descripción técnica y matemática de los sistemas GNSS, los cuales son capaces de determinar las coordenadas de puntos respecto de un sistema de referencia fijo en la Tierra. Estas coordenadas son determinadas con un cierto grado de precisión, gracias en parte a la Teoría de la Relatividad introducida por Albert Einstein.

Así pues, se ha decidido estudiar y simular los efectos relativistas en los sistemas de posicionamiento por satélites, ya que es la mejor forma de constatar que estos efectos existen, y son importantes en el día a día. Si no fueran tenidos en cuenta, en cuestión de minutos afectarían al reloj de los satélites con un error acumulativo que llegaría a los 70 km de imprecisión en una semana. Por tanto, en cuanto a la Relatividad Especial, la velocidad relativa entre el reloj del satélite y el reloj del receptor, produce que los relojes de los satélites se atrasen respecto del reloj del receptor, y se explicará las transformaciones de Lorentz y sus efectos espacio-temporales, como la dilatación temporal y la contracción del espacio, así como la métrica de Minkowski y la estimación de las contribuciones relativistas en las ecuaciones en GNSS. Y en cuanto a la Relatividad General, como el potencial gravitatorio en la Tierra es mayor que en los satélites, se produce un efecto adicional que adelanta los relojes de los satélites respecto de los del receptor y se tratará la métrica de Schwarzschild y extensiones.

También se van a estudiar las correcciones no relativistas como pueden ser los errores debido a la ionosfera, troposfera y el retraso del reloj y a partir de los datos contenidos en el mensaje de navegación y el mensaje de observaciones una estación receptora en Toulouse. Se van a procesar y analizar estos datos mediante el software gLAB, y posteriormente los errores correspondientes se graficarán mediante los lenguajes de programación Python y Julia en cada satélite para poder estimar su magnitud y impacto.

[CA] Una de les tecnologies essencials al segle XXI són els sistemes de navegació per satèl·lit els quals permeten a qualsevol usuari determinar la seva posició en qualsevol moment. I és per això que aquest projecte comença amb una aproximació al GNSS on el lector es pot familiaritzar amb els conceptes més importants com ara el mètode de la triangulació, els segments en què es pot dividir l’arquitectura dels sistemes GNSS i les diverses constel·lacions satelitals existents actualment. Posteriorment als capítols que abasten la temàtica de la relativitat, s’introdueixen conceptes nous com la propietat de simultaneïtat, la dilatació temporal, l’espai-temps de Minkowski i Schwarzschild, així com les transformacions de Lorentz i l’efecte Doppler que serveixen per poder entendre com afecta la relativitat als sistemes de navegació per satèl·lit. Per això s’han utilitzat diversos diagrames i desenvolupaments matemàtics que permeten una millor comprensió del projecte realitzat per finalment poder quantificar els errors relativistes i com afectarien la determinació de la posició final.

[EN] One of the essential technologies in the 21st century are satellite navigation systems which allow any user to determine their position at any time. And it is for this reason that this project begins with an approach to GNSS where the reader can become familiar with the most important concepts such as the triangulation method, the segments into which the architecture of GNSS systems can be divided, and the various satellite constellations currently in existence. Subsequently, in the chapters that cover the subject of relativity, new concepts are introduced, such as the property of simultaneity, time dilation, the Minkowski and Schwarzschild space-time, as well as the Lorentz transformations and the Doppler effect that serve to understand How does relativity affect satellite navigation systems. For this, various diagrams and mathematical developments have been used that allow a better understanding of the project carried out in order to finally be able to quantify the relativistic errors and how they would affect the determination of the final position.