Métodos iterativos libres de derivadas para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales.

Abstract

[ES] Dentro del campo del Análisis Numérico, la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales es uno de los aspectos más relevantes y estudiados. Esto se debe a que gran cantidad de problemas de Matemática Aplicada, como la resolución de ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales o ecuaciones integrales entre muchos otros, pueden reducirse a buscar la solución de un sistema no lineal.

Generalmente, es muy difícil obtener la solución analítica de este tipo de problemas y, en muchos casos, aunque es posible llegar a encontrar la solución exacta, es muy complicado trabajar con dicha expresión por su complejidad. Además, con el desarrollo de las nuevas tecnologías, se han hecho grandes avances en el uso de herramientas computacionales, por lo que las dimensiones de algunos de los problemas que se plantean en campos como la Economía, la Ingeniería, la Ciencia de datos, etc. han crecido considerablemente, dando lugar a problemas de grandes dimensiones. Por estos motivos, es de gran utilidad y, en muchos casos, resulta necesario resolver estos problemas no lineales de forma aproximada, por supuesto, con técnicas matemáticamente rigurosas dentro del campo del Análisis Numérico.

Por las razones expuestas, los métodos iterativos para aproximar la solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales han constituido a lo largo de los últimos años un importante campo de investigación. La implementación computacional de estos métodos es una importante herramienta dentro de las Ciencias Aplicadas ya que dan solución a problemas que antiguamente eran difíciles de resolver.

La investigación que se lleva a cabo en esta Tesis Doctoral se centra en estudiar, diseñar y aplicar métodos iterativos que mejoren en ciertos aspectos a los esquemas clásicos, como por ejemplo: la velocidad de convergencia, la aplicabilidad a problemas no diferenciales, la accesibilidad o la eficiencia. Buena parte del trabajo desarrollado en esta memoria se centra en el estudio de métodos iterativos para problemas multidimensionales, en especial, nos hemos centrado en el estudio de esquemas libres de derivadas.

Además, uno de los ejes centrales de la presente Tesis Doctoral se enfoca en el estudio de la convergencia local y semilocal de métodos ya desarrollados en la literatura reciente o de nuevos métodos iterativos diseñados en este mismo trabajo. Este estudio garantiza para los métodos analizados la existencia de solución dado un punto de partida, el dominio de convergencia de las soluciones del problema y la unicidad de éstas bajo ciertas condiciones.

Para complementar el estudio de convergencia de los métodos, en algunos capítulos también se realiza un estudio dinámico de los métodos aplicados a ecuaciones no lineales para, posteriormente, extrapolar los resultados al caso multidimensional. Además, como parte de algunos experimentos numéricos, se ha comparado la accesibilidad de distintos métodos numéricos a través de las cuencas de atracción representadas en diferentes planos dinámicos, tanto para el caso unidimensional como el multidimensional.

Finalmente, en la mayor parte de los Capítulos de esta tesis se aplican los métodos iterativos estudiados a la resolución de problemas no lineales de Matemática Aplicada. Estos problemas pueden estar preparados para poner a prueba los algoritmos diseñados o ser problemas reales presentes en algunas Ciencias Aplicadas como la Ingeniería, la Física, la Química, etc.

Los resultados anteriormente descritos forman parte de la presente Tesis Doctoral para la obtención del título de Doctora en Matemáticas.

[CA] Dins del camp de l'Anàlisi Numèrica, la resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals és un dels aspectes més rellevants i estudiats. Això és pel fet de que gran quantitat de problemes de Matemàtica Aplicada, com la resolució d'equacions diferencials, equacions en derivades parcials o equacions integrals entre molts altres, poden reduir-se a buscar la solució d'un sistema no lineal.

Generalment, és molt difícil obtindre la solució analítica d'estos problemes i, en molts casos, encara que és possible arribar a trobar la solució exacta, és molt complicat treballar amb aquesta expressió per la seua complexitat. A més, amb el desenvolupament de les tecnologies, s'han fet grans avanços en l'ús d'eines computacionals, per la qual cosa les dimensions d'alguns dels problemes que es plantegen en camps com l'Economia, l'Enginyeria, la Ciència de dades, etc. han crescut considerablement, donant lloc a problemes de grans dimensions. Per aquestos motius, és de gran utilitat i, en molts casos, resulta necessari resoldre estos problemes no lineals de manera aproximada, per descomptat, amb tècniques matemàticament riguroses dins del camp de l'Anàlisi Numèrica.

Per les raons exposades, els mètodes iteratius per a aproximar la solució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals han constituït al llarg dels últims anys un important camp d'investigació. La implementació computacional d'estos mètodes és una eina important dins de les Ciències Aplicades ja que donen solució a problemes que antigament eren difícils de resoldre.

La investigació que es porta a terme en esta Tesi Doctoral es centra en estudiar, dissenyar i aplicar mètodes iteratius que milloren en certs aspectes als esquemes clàssics com són: la velocitat de convergència, l'aplicabilitat a problemes no diferencials, l'accessibilitat o l'eficiència. Bona part del treball desenvolupat en esta memòria es centra en l'estudi de mètodes iteratius per a problemes multidimensionals, especialment, ens hem centrar en l'estudi d'esquemes lliures de derivades.

A més, part de la present Tesi Doctoral està centrada en l'estudi de la convergència local i semilocal de mètodes ja desenvolupats en la literatura recent o de nous mètodes iteratius dissenyats en aquest mateix text. Este estudi garanteix per als mètodes l'existència de solució donat un punt de partida, el domini de convergència de les solucions del problema i la unicitat d'estes sota unes certes condicions.

Per a complementar l'estudi de convergència dels mètodes, en alguns capítols també es realitza un estudi dinàmic dels mètodes aplicats a equacions no lineals per a, posteriorment, extrapolar els resultats al cas multidimensional. A més, com a part d'alguns experiments numèrics, s'ha comparat l'accessibilitat de diferents mètodes numèrics a través de les conques d'atracció representades en diferents plans dinàmics, tant per al cas unidimensional com el multidimensional.

Finalment, en la major part dels Capítols d'esta tesi s'apliquen els mètodes iteratius estudiats a la resolució de problemes no lineals de Matemàtica Aplicada. Estos problemes poden estar preparats per a probar la funcionalitat dels algorismes dissenyats o ser problemes reals presents en algunes Ciències Aplicades com l'Enginyeria, la Física, la Química, etc.

Els resultats anteriorment descrits formen part de la present Tesi Doctoral per a l'obtenció del títol de Doctora en Matemàtiques.

[EN] Within the field of Numerical Analysis, the resolution of equations and systems of nonlinear equations is one of the most relevant and studied aspects. This is due to the fact that a large number of problems in Applied Mathematics, such as the solution of differential equations, partial differential equations or integral equations among many others, can be reduced to the solution of a non-linear system.

Generally, it is very difficult to obtain the analytical solution of this type of problems and, in many cases, although it is possible to find the exact solution, it is very complicated to work with this expression due to its complexity. Moreover, with the development of technologies, great advances have been made in the use of computational tools, so that the dimensions of some of the problems that arise in fields such as Economics, Engineering, Data Science, etc. have grown considerably, giving rise to problems of large dimensions. For these reasons, it is very useful and, in many cases, necessary to solve these non linear problems in an approximate way, of course, with mathematically rigorous techniques within the field of Numerical Analysis.

For these reasons, iterative methods for approximating the solution of nonlinear equations and systems of equations have been an important field of research in recent years. The computational implementation of these methods is an important tool in the Applied Sciences as they provide solutions to problems that were difficult to solve in the past.

The research carried out in this Doctoral Thesis focuses on the study, design and application of iterative methods that improve certain aspects of classical schemes such as: speed of convergence, applicability to non differential problems, accessibility or efficiency. A large part of the work developed in this thesis focuses on the study of iterative methods for multidimensional problems, in particular, we have specialised on derivative-free schemes.

In addition, part of this Doctoral Thesis is centred on the study of the local and semilocal convergence of methods already developed in the recent literature or of new iterative methods designed in this work. This study guarantees the existence of a solution given a starting point, the convergence domain of the solutions of the problem and their uniqueness under certain conditions.

To complement the study of the convergence of the methods, in some chapters a dynamical study of the methods applied to nonlinear equations is also carried out in order to extrapolate the results to the multidimensional case. In addition, as part of some numerical experiments, the accessibility of different numerical methods has been compared across the basins of attraction represented in different dynamical planes, both for the unidimensional and the multidimensional case.

Finally, in most of the chapters of this thesis, the iterative methods studied are applied to the resolution of non-linear problems in Applied Mathematics. These problems can be prepared to taste the designed algorithms or be real problems present in some Applied Sciences such as Engineering, Physics, Chemistry, etc.

The results described above form part of this Doctoral Thesis to obtain the title of Doctor in Mathematics.