MATRICES COMBINADAS DE ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Abstract

[EN] Several authors have studied the Hadamard product or entry wise product of two matrices with di erent objectives. In particular, the product of a Hadamard matrix and the transpose of its inverse has proved useful in many areas such as in the study of chemical processes. This product is called combined matrix and is denoted by C(A). The combined matrix also has various applications in the eld of linear algebra. For example, from the combined matrix an interesting relationship between the eigenvalues and the diagonal elements of a diagonal- izable matrix is obtained. Furthermore, since the sum of each row and each column of a combined matrix is exactly equal to 1, in cases where the combined matrix is nonnegative, C(A) will be a doubly stochastic matrix. The study of properties of C(A) is still under research and many results have recently been published. Herein are collected and extended results concerning the combined matrix of some classes of matrices related to positivity? For this, a long list of related works has been consulted and a summary of the most relevant results has been made before showing the new results. The interest of some open issues was also raised. The memory is structured as follows. In the rst chapter the concepts are de ned and listed. General results are proven that will be used in the rest of the memory. In the three remaining chapters, we present the problems to solve, the results we have obtained and summarize their interest as conclusions. In Chapter 2 it is determined whether the combined matrix of some clas- sic classes of matrices may or may not be doubly stochastic. The combined matrix of these classes is studied and we concluded that the positivity of the combined matrix is obtained for some G-matrices, some H-matrices and some 2x 2 matrices. It never occurs to completely positive or completely negative ma- trices; and only it is obtained that C(A) 0 when C(A) = I in the case where A is not completely negative or M-matrix. Finally, only totally non positive anti-triangular matrices of size 2x2 have its combined matrix nonnegative. In Chapter 3 the previous study is extended to sign-regular matrices. The sign of the entries of the combined matrix from the signature of the matrix and of its inverse matrix transpose is analyzed and a list with all possible cases is obtained. This list shows cases where C(A) is never negative and others where C(A) is nonnegative when it is a diagonal or anti-diagonal matrix, that is, only when C(A) coincides with the identity matrix I or the anti-identity J. Likewise, it follows that the sign of the elements in C(A) is determined solely by the rst two and the last two elements of the symbol of A. In Chapter 4, we determine relations between the diagonal elements of the combined matrix of a totally negative matrix and thereby we characterize when a given vector can be the diagonal entries of C(A). Thus, relations between the rst two and last two diagonal elements of C(A), both for symmetric and non- symmetric cases are obtained. The diagonal of a combined matrix of a totally negative matrix of dimension 3x3 is also characterized. Finally, a chapter is written with all our achievements and a short list of possible future lines of work upon aspects that the author of this report would like to continue studying in order to reach new related goals.

[ES] El producto de Hadamard o producto elemento a elemento de dos matrices ha sido estudiado por diversos autores con diferentes objetivos. En particular, el producto de Hadamard de una matriz y la traspuesta de su inversa ha de- mostrado su utilidad en múltiples áreas como por ejemplo en el estudio de procesos químicos. Este producto se denomina matriz combinada y se denota por C(A). La matriz combinada tiene además diversas aplicaciones en el ámbito del álgebra lineal. A partir de la matriz combinada se obtiene, por ejemplo, una interesante relación entre los valores propios y los elementos diagonales de una matriz diago- nalizable. Además, dado que la suma de cada fi la y de cada columna de una matriz combinada es exactamente igual a 1, en aquellos casos en que la matriz combinada sea no negativa, C(A) será una matriz doblemente estocástica. El es- tudio de propiedades de C(A) sigue siendo de actualidad y muchos resultados han sido publicados recientemente. En esta memoria se recogen y amplían los resultados referentes a la matriz combinada de algunas clases de matrices relacionadas con la positividad. Para ello se ha consultado una larga relación de trabajos relacionados y se ha realizado un resumen de los resultados más relevantes antes de incluir los nuevos resultados. Se plantea también el interés de algunas cuestiones abiertas. La memoria se estructura de la siguiente manera. En el primer capítulo se de nen los conceptos y se enuncian y/o demuestran los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria. En los tres restantes capítulos se plantea el tipo de problema a resolver, se enuncian y demuestran los resultados obtenidos y se resume su interés a modo de conclusiones. En el Capítulo 2 se determina si la matriz combinada de clásicas clases de matrices puede ser o no doblemente estocástica. Se estudia la matriz combinada de estas clases y se concluye que se obtiene la positividad de la matriz combinada para algunas G-matrices, algunas H-matrices y algunas matrices 2x2; nunca se da para matrices totalmente positivas o totalmente negativas; y s'olo se obtiene C(A) mayor o igual que 0 cuando C(A) = I en el caso de que A sea totalmente no negativa o M-matriz. Por último, sólo las matrices anti-triangulares totalmente no positivas de tamaño 2x2 tienen matriz combinada no negativa. En el Capítulo 3 se extiende el estudio anterior a matrices signo-regulares. Se analiza el signo de las entradas de la matriz combinada a partir de la signatura de la matriz y de la signatura de su matriz inversa traspuesta y se obtiene una lista con todos los casos posibles. Esta lista muestra casos en los que C(A) nunca es no negativa y otros en los que C(A) es no negativa cuando es una matriz diagonal o anti-diagonal, esto es, sólo cuando C(A) coincide con la matriz identidad, I, o con la anti-identidad, J. Así mismo, se deduce que el signo de los elementos de C(A) viene determinado únicamente por los dos primeros y los dos últimos elementos de la signatura de A. En el Capítulo 4 se busca determinar relaciones entre los elementos diagonales de la matriz combinada de una matriz totalmente negativa y con ello caracterizar cuándo cierto vector puede coincidir con la diagonal de C(A). Así, se obtienen relaciones entre los dos primeros y dos últimos elementos de la diagonal de C(A), tanto para el caso simétrico como no simétrico. También se caracteriza la diagonal de la matriz combinada de una matriz totalmente negativa de dimensión 3x3. Finalmente, se incluye un capítulo donde se resume los logros alcanzados y un pequeño listado de las posibles líneas futuras de trabajo sobre aspectos que el autor de esta memoria querría continuar estudiando en vista a unos nuevos objetivos.

[CA] El producte de Hadamard o producte element a element de dues matrius ha sigut estudiat per diversos autors amb diferents objectius. En particular, el pro- ducte de Hadamard d'una matriu i la trasposta de la seua inversa ha demostrat la seua utilitat en mltiples rees com per exemple en l'estudi de processos qumics. Aquest producte es denomina matriu combinada i es denota per C(A). La ma- triu combinada t a ms diverses aplicacions en l'mbit de l'lgebra lineal. A partir de la matriu combinada s'obt, per exemple, una interessant relaci entre els val- ors propis i els elements diagonals d'una matriu diagonalizable. A ms, ats que la suma de cada la i de cada columna d'una matriu combinada s exactament igual a 1, en aquells casos en qu la matriu combinada siga no negativa, C(A) ser una matriu doblement estocstica. L'estudi de propietats de C(A) segueix sent d'actualitat i molts resultats han sigut publicats recentment. En aquesta memria s'arrepleguen i amplien els resultats referents a la matriu combinada d'algunes classes de matrius relacionades amb la positividad. Per a a s'ha consultat una llarga relaci de treballs relacionats i s'ha realitzat un resum dels resultats ms rellevants abans d'incloure els nous resultats. Es planteja tamb l'inters d'algunes qestions obertes. La memria s'estructura de la segent manera. En el primer captol es de- neixen els conceptes i s'enuncien i/o demostren els resultats d'mbit general que van a ser utilitzats en la resta de la memria. En els tres restants captols es planteja el tipus de problema a resoldre, s'enuncien i demostren els resultats obtinguts i es resumeix el seu inters a manera de conclusions. En el Captol 2 es determina si la matriu combinada de clssiques classes de matrius pot ser o no doblement estocstica. S'estudia la matriu combinada d'aquestes classes i es conclou que s'obt la positividad de la matriu combinada per a algunes G-matrius, algunes H-matrius i algunes matrius 2 x2; mai es dna per a matrius totalment positives o totalment negatives; i noms s'obt C(A) 0 quan C(A) = I en el cas que A siga totalment no negativa o M-matriu. Finalment, noms les matrius anti-triangulars totalment no positives de grandria 2x2 tenen matriu combinada no negativa. En el Captol 3 s'estn l'estudi anterior a matrius signe-regulars. S'analitza el signe de les entrades de la matriu combinada a partir de la signatura de la matriu i de la signatura de la seua matriu inversa trasposta i s'obt una llista amb tots els casos possibles. Aquesta llista mostra casos en els quals C(A) mai s no negativa i uns altres en els quals C(A) s no negativa quan s una matriu diagonal o anti-diagonal, a s, noms quan C(A) coincideix amb la matriu identitat I o amb la anti-identitat J. Aix mateix, es dedueix que el signe dels elements de C(A) ve determinat nicament pels dos primers i els dos ltims elements de la signatura de A. En el Captol 4 se cerca determinar relacions entre els elements diagonals de la matriu combinada d'una matriu totalment negativa i amb a caracteritzar quan cert vector pot coincidir amb la diagonal de C(A). Aix, s'obtenen relacions entre els dos primers i dos ltims elements de la diagonal de C(A), tant per al cas simtric com no simtric. Tamb es caracteritza la diagonal de la matriu combinada d'una matriu totalment negativa de dimensi 3x3. Finalment, s'inclou un captol on es resumeix els assoliments aconseguits i un petit llistat de les possibles lnies futures de treball sobre aspectes que l'autor d'aquesta memria voldria continuar estudiant en vista a uns nous objectius.