Polinomios ortogonales matriciales. Teoría y aplicaciones

Abstract

La teoría de polinomios ortogonales matriarcales ha experimentado un desarrollo importante en las últimas décadas. El primer contacto de nuestro grupo de investigación con el tema surgio al dearrollar un método de Frobenius matriarcal para resolver ecuaciones diferenciales matriarcales de segundo orden sin aumentar la dimensión del problema. De esta forma, aparecieron soluciones de tipo polinomial matriarcal de ecuaciones diferenciales matriarcales que generalizaban las ecuaciones escalares clásicas de Hermite, Laguerre; Legendre.En la Tesis doctoral de R. Company [3] y en los trabajos siguientes [34],[35],[40],se introdujeron los polinomios matriarcales de Laguerre, Gegenbauer y Hermite, que verificaban ciertas propiedades de ortogonalidad de naturaleza no del todo transparente. Nos encontramos entonces, al disponer de ejemplos de clases concretas de polinomios ortogonales, sin estructurar la idea de ortogonalidad, a pesar de que ya se habían publicado, incluso en un contexto abstracto, pero próximo, resultados sobre ortogonalidad de polinomios en un álgebra no conmutativa [10],[11]. El objetivo de esta tesis es bidireccional; por una parte se trata de estructurar satisfactoriamente la idea de ortogonalidad para polinomios matriarcales, pero, con la intención dirigida a conseguir la utilidad en las aplicaciones que suministran las familias clásicas de polinomios ortogonales escalares. Estamos pensando, a corto plazo, en este trabajo, en utilizar la idea de ortoganalidad de polinomios matriarcales para aproximar integrales matriarcales y, también en desarrollar funciones matriarcales en serie de polinomios ortogonales matriarcales. Estas ambiciones han estado influidas por el enfoque de Chihara [5] y los trabajos de Stone [70] y Ghizzetti [29]. en la memoria se resuelven algunas de las dificultades que aparecen y, se suministran algunas respuestas, parcialmente publicadas en [36], [38], [39], [41], que no son ni mucho menos, el final de los muchos objetivos que en esta línea, pensamos se pueden conseguir. Entre las cuestiones a resolver objeto de este trabajo se encuentran: - Definición del concepto de ortogonalidad para polinomios matriarcales y funciones matriarcales. - Estructurar un espacio normado base donde yacen las funciones ortogonales matriarcales. - Estudio de la relación de la norma del espacio base y el concepto de ortogonalidad en ausencia de espacio Hilbert. - Solución del problema de la mejor aproximación matriarcal respecto a un funcional matriarcal definido positivo. - Series de Fourier matriarcales. - Obtención de análogos de Lema de Riemann-Lebesgue y de la igualdad (desigualdad) de Bessel-Parseval, en ausencia de estructura hilbertiana. - Introducción del concepto de totalidad para una familia de funciones ortogonales matriarcales en ausencia de estructura hilbertiana. - Posibilidad de desarrollo en serie de polinomios ortogonales matriarcales (solamente para el caso de Hermite) - Aplicación al desarrollo de la exponencial de una matriz.