Desenvolupament de nous mètodes per a la resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals

Abstract

[EN] The necessity of solving nonlinear equations and systems arises naturally in the different areas of engineering and science when integral and differential equations are discretized. Nowadays, computers have become tools to help in the resolution of problems. So, the development of efficient and fast iterative methods are demanded. Numerical analysis is the branch of mathematics which deals these requirements. In this work, we discuss some interesting aspects in this area. In particular, we show an approximation for the derivative thaht allows us to modify a result to get order p+2 from other p-th order method, maintaining the good convergence properties. Other result, let us get a generalization of Sharma's method and build a family of optimal method of 4th order, and other of order 6. We study the number of operations to get the most efficient ones. Finally, we focus in the study of strategies for compute good approximation for the Jacobian matrices using divided differences operators. Our new operator works as well as the other despite being simpler. Theoretical results are compared with several numerical experiences.

[CA] La necessitat de resoldre equacions i sistemes d’equacions no lineals sorgeix de manera natural en discretitzar les equacions integrodiferencials que modelen els problemes dels quals s’encarreguen les diferents branques de les ciències i l’enginyeria. Actualment, es pot fer ús dels ordinadors com a eines per facilitar totes les tasques entorn a la seua resolució. Amb la millora dels dispositius, el desenvolupament de les tècniques de computació i l’aritmètica de precisió variable, s’ha generalitzat la demanda de mètodes iteratius que resolguen de forma ràpida i eficient les equacions i sistemes d’equacions. L’Anàlisi Numèrica és la branca de les matem`atiques que respon a aquestos requeriments. En aquest treball tractarem alguns aspectes d’interés d’aquesta àrea. En concret, mostrarem una aproximació de la derivada que ens permeta modificar un resultat per obtenir mètodes d’ordre p + 2 a partir d’altres d’ordre p, de manera que es mantinguen les propietats de convergència i estudiarem la millora l’eficiència d’aquesta tècnica, degut al menor nombre d’avaluacions funcionals, aplicada a mètodes diferent ordre. Un altre resultat s’ha assolit generalitzant el mètode de Sharma, i així construir famílies de mètodes d’ordre 4 òptims i d’ordre 6; amb l’estudi del nombre d’operacions obtindrem els dos mètodes més eficients de la família dels quals estudiarem la seua dinàmica. Una altra línia d’investigació consisteix en l’estudi de les diverses estratègies per aproximar el càlcul de les jacobianes, així els operadors de diferències dividides han contribuït a aquest objectius. Nosaltres hem desenvolupat un operador de diferències dividides mantenint la convergència dels mètodes amb derivades tot i ser més senzill que d’altres ja coneguts. Els resultats teòrics s’han contrastat amb diverses experiències numèriques.