Cálculo de trayectorias de satélites

Abstract

El número de satélites que orbitan la tierra ha sufrido un incremento enorme en los últimos años. El control y la precisión de las trayectorias de los mismos son cada vez más exigentes y por tanto resulta necesario poder realizar simulaciones numéricas de las trayectorias de manera rápida, precisa y eficiente, y conocer también sus órbitas a tiempos relativamente largos.

El modelo más sencillo para describir la trayectoria de un satélite alrededor de la Tierra es del problema de dos cuerpos, en el que la masa de la Tierra se toma como si estuviera concentrada en su centro de gravedad y no existieran otros fenómenos perturbativos como la atmósfera u otros planetas como la Luna o el Sol. El problema de dos cuerpos tiene solución analítica y, aunque ésta venga expresada en forma implícita, su resolución numérica es inmediata.

Sin embargo, los modelos realistas deben incluir efectos perturbativos como pueden ser: - Achatamiento de la Tierra. - Rozamiento con la atmósfera. - Efecto gravitatorio de la Luna o el Sol. - Etc. Estos efectos serán más o menos relevantes en función del tipo de trayectoria a estudiar: - Trayectorias cercanas a la Tierra con varias revoluciones por día. - Trayectorias lejanas, por ejemplo, geoestacionarias. - Trayectorias casi circulares frente a trayectorias con gran excentricidad. - Etc.

Los modelos realistas deben tener en cuenta los efectos perturbativos que no sean despreciables para el tipo de trayectorias a estudiar. Por ejemplo, si queremos estudiar trayectorias de satélites cercanas a la Tierra deberemos tener en cuenta el rozamiento con la atmósfera así como el achatamiento de la misma y posiblemente la redistribución de la masa como pueden ser las mareas.

Si queremos estudiar trayectorias con excentricidades altas habrá que tener presente diferentes tipos de perturbaciones en diferentes regiones de su trayectoria.

Es bien sabido que el problema de dos cuerpos perturbado no tiene solución analítica y por tanto hay que recurrir a métodos numéricos para su resolución. A la hora de realizar simulaciones numéricas suele ser conveniente poder realizar un elevado número de simulaciones para estudiar tanto diferentes tipos de trayectorias (estables o inestables) como para disponer de resultados estadísticos sobre el tipo de soluciones. Por tanto, es de gran interés disponer de métodos numéricos que sean muy precisos, eficientes (den la solución requerida en el menor tiempo posible) y también fiables.

Debemos tener presente que los modelos que describen los problemas a estudiar deben respetar unos principios fundamentales. Por ejemplo, si no hay rozamiento, el modelo utilizado debe preservar la energía total del sistema y si hay rozamiento con la atmósfera, el modelo debe de ser tal que se observe esa disipación de la energía.

Desgraciadamente, los métodos numéricos generales como los que se encuentran implementados en Matlab, no respetan estas propiedades que le exigimos a los modelos. Por ejemplo, si utilizamos métodos numéricos como los métodos Runge-Kutta o los multipaso nos podemos encontrar con que no se conserva la energía en problemas sin rozamientos (el método numérico incorpora una disipación o ganancia de energía artificial) o que los problemas con rozamiento presentan algunas ganancias de energía artificiales durante algunos periodos de tiempo. Estos fenómenos no deseados en los métodos numéricos los puede hacer poco fiables en el estudio de trayectorias a tiempos largos o muy costosos en el caso de que se utilicen con pasos de integración excesivamente pequeños para poder despreciar estos fenómenos no deseados.

En los últimos 25 años se ha desarrollado un área nueva dentro de la matemática aplicada denominada Integración Numérica Geométrica en la se analizan y estudian métodos numéricos que incorporen las propiedades cualitativas de los modelos. Los problemas que estudiaremos se pueden