Structural Shape Optimization Based On The Use Of Cartesian Grids

Abstract

As ever more challenging designs are required in present-day industries, the traditional trial-and-error procedure frequently used for designing mechanical parts slows down the design process and yields suboptimal designs, so that new approaches are needed to obtain a competitive advantage. With the ascent of the Finite Element Method (FEM) in the engineering community in the 1970s, structural shape optimization arose as a promising area of application.

However, due to the iterative nature of shape optimization processes, the handling of large quantities of numerical models along with the approximated character of numerical methods may even dissuade the use of these techniques (or fail to exploit their full potential) because the development time of new products is becoming ever shorter.

This Thesis is concerned with the formulation of a 3D methodology based on the Cartesian-grid Finite Element Method (cgFEM) as a tool for efficient and robust numerical analysis. This methodology belongs to the category of embedded (or fictitious) domain discretization techniques in which the key concept is to extend the structural analysis problem to an easy-to-mesh approximation domain that encloses the physical domain boundary.

The use of Cartesian grids provides a natural platform for structural shape optimization because the numerical domain is separated from a physical model, which can easily be changed during the optimization procedure without altering the background discretization. Another advantage is the fact that mesh generation becomes a trivial task since the discretization of the numerical domain and its manipulation, in combination with an efficient hierarchical data structure, can be exploited to save computational effort.

However, these advantages are challenged by several numerical issues. Basically, the computational effort has moved from the use of expensive meshing algorithms towards the use of, for example, elaborate numerical integration schemes designed to capture the mismatch between the geometrical domain boundary and the embedding finite element mesh. To do this we used a stabilized formulation to impose boundary conditions and developed novel techniques to be able to capture the exact boundary representation of the models.

To complete the implementation of a structural shape optimization method an adjunct formulation is used for the differentiation of the design sensitivities required for gradient-based algorithms. The derivatives are not only the variables required for the process, but also compose a powerful tool for projecting information between different designs, or even projecting the information to create h-adapted meshes without going through a full h-adaptive refinement process.

The proposed improvements are reflected in the numerical examples included in this Thesis. These analyses clearly show the improved behavior of the cgFEM technology as regards numerical accuracy and computational efficiency, and consequently the suitability of the cgFEM approach for shape optimization or contact problems.

La competitividad en la industria actual impone la necesidad de generar nuevos y mejores diseños. El tradicional procedimiento de prueba y error, usado a menudo para el diseño de componentes mecánicos, ralentiza el proceso de diseño y produce diseños subóptimos, por lo que se necesitan nuevos enfoques para obtener una ventaja competitiva. Con el desarrollo del Método de los Elementos Finitos (MEF) en el campo de la ingeniería en la década de 1970, la optimización de forma estructural surgió como un área de aplicación prometedora.

El entorno industrial cada vez más exigente implica ciclos cada vez más cortos de desarrollo de nuevos productos. Por tanto, la naturaleza iterativa de los procesos de optimización de forma, que supone el análisis de gran cantidad de geometrías (para las se han de usar modelos numéricos de gran tamaño a fin de limitar el efecto de los errores intrínsecamente asociados a las técnicas numéricas), puede incluso disuadir del uso de estas técnicas.

Esta Tesis se centra en la formulación de una metodología 3D basada en el Cartesian-grid Finite Element Method (cgFEM) como herramienta para un análisis numérico eficiente y robusto. Esta metodología pertenece a la categoría de técnicas de discretización Immersed Boundary donde el concepto clave es extender el problema de análisis estructural a un dominio de aproximación, que contiene la frontera del dominio físico, cuya discretización (mallado) resulte sencilla.

El uso de mallados cartesianos proporciona una plataforma natural para la optimización de forma estructural porque el dominio numérico está separado del modelo físico, que podrá cambiar libremente durante el procedimiento de optimización sin alterar la discretización subyacente. Otro argumento positivo reside en el hecho de que la generación de malla se convierte en una tarea trivial. La discretización del dominio numérico y su manipulación, en coalición con la eficiencia de una estructura jerárquica de datos, pueden ser explotados para ahorrar coste computacional.

Sin embargo, estas ventajas pueden ser cuestionadas por varios problemas numéricos. Básicamente, el esfuerzo computacional se ha desplazado. Del uso de costosos algoritmos de mallado nos movemos hacia el uso de, por ejemplo, esquemas de integración numérica elaborados para poder capturar la discrepancia entre la frontera del dominio geométrico y la malla de elementos finitos que lo embebe. Para ello, utilizamos, por un lado, una formulación de estabilización para imponer condiciones de contorno y, por otro lado, hemos desarrollado nuevas técnicas para poder captar la representación exacta de los modelos geométricos.

Para completar la implementación de un método de optimización de forma estructural se usa una formulación adjunta para derivar las sensibilidades de diseño requeridas por los algoritmos basados en gradiente. Las derivadas no son sólo variables requeridas para el proceso, sino una poderosa herramienta para poder proyectar información entre diferentes diseños o, incluso, proyectar la información para crear mallas h-adaptadas sin pasar por un proceso completo de refinamiento h-adaptativo.

Las mejoras propuestas se reflejan en los ejemplos numéricos presentados en esta Tesis. Estos análisis muestran claramente el comportamiento superior de la tecnología cgFEM en cuanto a precisión numérica y eficiencia computacional. En consecuencia, el enfoque cgFEM se postula como una herramienta adecuada para la optimización de forma.

Actualment, amb la competència existent en la industria, s'imposa la necessitat de generar nous i millors dissenys . El tradicional procediment de prova i error, que amb freqüència es fa servir pel disseny de components mecànics, endarrereix el procés de disseny i produeix dissenys subòptims, pel que es necessiten nous enfocaments per obtindre avantatge competitiu. Amb el desenvolupament del Mètode dels Elements Finits (MEF) en el camp de l'enginyeria en la dècada de 1970, l'optimització de forma estructural va sorgir com un àrea d'aplicació prometedora.

No obstant això, a causa de la natura iterativa dels processos d'optimització de forma, la manipulació dels models numèrics en grans quantitats, junt amb l'error de discretització dels mètodes numèrics, pot fins i tot dissuadir de l'ús d'aquestes tècniques (o d'explotar tot el seu potencial), perquè al mateix temps els cicles de desenvolupament de nous productes s'estan acurtant.

Esta Tesi se centra en la formulació d'una metodologia 3D basada en el Cartesian-grid Finite Element Method (cgFEM) com a ferramenta per una anàlisi numèrica eficient i sòlida. Esta metodologia pertany a la categoria de tècniques de discretització Immersed Boundary on el concepte clau és expandir el problema d'anàlisi estructural a un domini d'aproximació fàcil de mallar que conté la frontera del domini físic.

L'utilització de mallats cartesians proporciona una plataforma natural per l'optimització de forma estructural perquè el domini numèric està separat del model físic, que podria canviar lliurement durant el procediment d'optimització sense alterar la discretització subjacent. A més, un altre argument positiu el trobem en què la generació de malla es converteix en una tasca trivial, ja que la discretització del domini numèric i la seua manipulació, en coalició amb l'eficiència d'una estructura jeràrquica de dades, poden ser explotats per estalviar cost computacional.

Tot i això, estos avantatges poden ser qüestionats per diversos problemes numèrics. Bàsicament, l'esforç computacional s'ha desplaçat. De l'ús de costosos algoritmes de mallat ens movem cap a l'ús de, per exemple, esquemes d'integració numèrica elaborats per poder capturar la discrepància entre la frontera del domini geomètric i la malla d'elements finits que ho embeu. Per això, fem ús, d'una banda, d'una formulació d'estabilització per imposar condicions de contorn i, d'un altra, desevolupem noves tècniques per poder captar la representació exacta dels models geomètrics

Per completar la implementació d'un mètode d'optimització de forma estructural es fa ús d'una formulació adjunta per derivar les sensibilitats de disseny requerides pels algoritmes basats en gradient. Les derivades no són únicament variables requerides pel procés, sinó una poderosa ferramenta per poder projectar informació entre diferents dissenys o, fins i tot, projectar la informació per crear malles h-adaptades sense passar per un procés complet de refinament h-adaptatiu.

Les millores proposades s'evidencien en els exemples numèrics presentats en esta Tesi. Estes anàlisis mostren clarament el comportament superior de la tecnologia cgFEM en tant a precisió numèrica i eficiència computacional. Així, l'enfocament cgFEM es postula com una ferramenta adient per l'optimització de forma.