La carta de Smith y sus generalizaciones

Abstract

[EN] Smith's chart is a graphical tool, classically used in the analysis and design of microwave circuits, based on the mathematical idea of inverting the positive semi-plane to the unit circle through the transformation of Möebius$M(z)=\frac{z-1}{z+1}.$ One of its main advantages is that it provides an excellent visual approach to high-frequency problems and, although its usefulness has survived to this day, it has some drawbacks that have been alleviated by successive generalizations. In Muller et al., 2011, the authors proposed a generalizationof Smith's chart in space: the Smith 3D chart, where they use the stereographic projection of the sphere in the plane. This new model unies the design of the circuits, keeping unchanged all the properties of the original Smith chart. In addition, these authors developed a CAD tool www.3dsmithchart.com to facilitate the measurements and graphics in it. This is not the only possible generalization, in this work we present other possibilities using hyperbolic geometry. This geometry was explored by M. C. Escher, in some of his best known illustrations, as well as being closely related to original Smith's chart (Gupta, 2006).

[ES] La carta de Smith es una de la herramienta clásica en ingeniería de microondas, fue presentada por Philip Hagar Smith en 1939. Esta carta está basada en la idea matemática de invertir el semiplano positivo al círculo unitario a través de la transformación de Moëbius $M(z)=\frac{z-1}{z+1}.$ Una de sus ventajas principales es que proporciona un excelente enfoque visual de los problemas de microondas, aunque también tiene algunos inconvenientes, como que no se pueden representar dentro de la carta los coeficientes de reflexión mayores que 1.En 2011, A. A. Müller, P. Soto, D. Dascalu, D. Neculoiu y V. E. Boria propusieron una generalización de la carta de Smith en el espacio. En ella, los autores utilizan la proyección estereográfica de la esfera de Riemann en el plano. Este nuevo modelo unifica el diseño de los circuitos activos y pasivos con cualquier magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje, manteniendo inalteradas todas las formas circulares del gráfico clásico de Smith. Además desarrollaron una herramienta CAD (www.3dsmithchart.com) para facilitar las mediciones y gráficos en esta carta.Esta no es la única generalización que se puede hacer, en este trabajo presentamos otras posibilidades utilizando la geometría hiperbólica. Este tipo de geometría fue explorada por Escher en algunas de sus más conocidas ilustraciones.