Asymmetric Norms and the dual complexity spaces

Abstract

Desde el punto de vista de la Ciencia de la Computación, un avance reciente lo ha constituido el establecimiento de un modelo matemático que da cuenta de la distancia entre algoritmos y programas, cuando estos son analizados desde la óptica de la complejidad computacional, entendiendo por complejidad, por ejemplo, la medida del tiempo de computación.

En la última década se han llevado a cabo notables esfuerzos para elaborar una teoría matemática robusta que goce, en cierta medida, de buenas propiedades y constituya una herramienta que, en este contexto, juegue un papel análogo al que los espacios vectoriales normados han desempeñado en diversos ámbitos de la ciencia y la tecnología.

En el caso de la complejidad computacional, se demuestra que un modelo muy satisfactorio lo constituye el de los espacios vectoriales dotados de una norma asimétrica. En esta tesis, realizamos un estudio general de las propiedades de estos espacios, en analogía con las propiedades que clásicamente se estudian en los espacios vectoriales normados. Así, hemos estudiado las propiedades de separación de los espacios vectoriales de norma asimétrica, obteniendo una caracterización de aquellos espacios que son Hausdorff; hemos obtenido una teoría satisfactoria de la bicompletación de dichos espacios; también hemos realizado un estudio de la compacidad cuando el espacio vectorial tiene dimensión finita; hemos determinado condiciones bajo las cuales una norma asimétrica definida en un conjunto algebraicamente cerrado de un espacio vectorial puede ser extendida a todo el espacio y hemos analizado la estructura del espacio dual y las topologías débiles asociadas. Por último, hemos aplicado los resultados obtenidos al campo de la Ciencia de la Computación, más concretamente a los Espacios de Complejidad Dual.